Υδραυλική

Υδροτουρμπίνα – Υδροστρόβιλος Pelton

 

Υδροτουρμπίνα – Υδροστρόβιλος Pelton

 

Η υδροτουρμπίνα Pelton είναι ένας τροχός που φέρει περιφερειακά ειδικά διαμορφωμένους αποδέκτες – «κουβάδες». Ένα υγρό, συνήθως νερό, εξέρχεται από ένα σταθερό ακροφύσιο με μεγάλη ταχύτητα και χτυπά «κάθετα» τους «κουβάδες» του τροχού. Η γεωμετρία των κουβάδων είναι τέτοια ώστε να εξασκείται δύναμη στον τροχό και να τον θέτει σε περιστροφή. Στην ουσία η τουρμπίνα Pelton είναι μια εξελιγμένη μορφή «παλιομοδίτικου» νερόμυλου.

Η μετάδοση της ορμής του νερού στον τροχό τον θέτει σε περιστροφική κίνηση. Εδώ θα ακολουθήσουμε μια μαθηματική ανάλυση της φυσικής αυτής κατάστασης και θα προσδιορίσουμε τη ροπή που αναπτύσσει μια υδροτουρμπίνα Pelton.

 

 

Ξεκινάμε εφαρμόζοντας ένα ισοζύγιο ορμής πάνω στον «στοιχειώδη» όγκο που περιλαμβάνει όλο τον τροχό Pelton με τους «κουβάδες», όπως στο παρακάτω σχήμα.

 

 

Το ισοζύγιο ορμής – 2ος νόμος Νεύτωνα – είναι:

 

 

Το «εξωτερικό» γινόμενο της παραπάνω εξίσωσης με ένα διάνυσμα θέσης r δίνει:

 

 

Το αριστερό σκέλος της παραπάνω εξίσωσης είναι η συνισταμένη ροπή ΣΜ που εξασκείται στον «στοιχειώδη» όγκο, καθόσον:

 

 

Το δεξί σκέλος της παραπάνω εξίσωσης είναι:

 

 

όπου G είναι η στροφορμή του «στοιχειώδους» όγκου:

 

 

Αλλά η ολική παράγωγος της ορμής είναι:

 

 

όπου ο πρώτος όρος του αθροίσματος:

 

 

παριστάνει τη συσσώρευση της ορμής στον «στοιχειώδη όγκο V και ο δεύτερος όρος:

 

 

παριστάνει τη καθαρή εκροή της ορμής από τον «στοιχειώδη όγκο V και εξωτερικής (κλειστής) επιφάνειας S και n είναι το κάθετο διάνυσμα στη «στοιχειώδη» επιφάνεια dS προς τα «έξω»

 

Συνεπώς το ισοζύγιο ορμής ή το ισοζύγιο στροφορμής της υδροτουρμπίνας Pelton είναι:

 

 

Η συνισταμένη ροπή ΣΜ είναι η ροπή που εξασκείται από τον άξονα της τουρμπίνας στον τροχό – «στοιχειώδη» όγκο Μαξονα, εφόσον r είναι το διάνυσμα θέσης των «κουβάδων» ως προς τον άξονα της τουρμπίνας.

 

Σε μόνιμη κατάσταση, δηλαδή για σταθερή γωνιακή ταχύτητα του τροχού ω, για σταθερή παροχή νερού και για σταθερή ταχύτητα πρόσκρουσης uo του νερού στους «κουβάδες» της υδροτουρμπίνας Pelton, είναι:

 

 

Το επιφανειακό ολοκλήρωμα:

 

 

είναι η καθαρή εκροή στροφορμής από το «στοιχειώδη» όγκο εξωτερικής επιφάνειας S.

Τώρα πρέπει να προσδιοριστεί η μεταβολή της καθαρής εκροής ορμής. Θεωρήστε ότι η φλέβα (jet) νερού προσκρούει σ’ ένα «κουβά» της υδροτουρμπίνας σύμφωνα με τη γεωμετρία του παρακάτω σχήματος.

 

 

Το νερό εξέρχεται από το ακροφύσιο με ταχύτητα uo κατά τη κατεύθυνση x. Προσκρούει στο «κουβά» και διαχωρίζεται σε δύο ίσα μέρη που κινούνται σε «αντίθετες» κατευθύνσεις υπό γωνία θ. Παράλληλα, ο τροχός περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Καθόσον r είναι το διάνυσμα θέσης του «κουβά» ως προς τον άξονα – άξονας z – του συστήματος συντεταγμένων, η μεταβολή της ταχύτητας του νερού, πριν και μετά την πρόσκρουση, είναι:

 

Στον άξονα x:

 

ταχύτητα μετά – ταχύτητα πριν

 

ή

 

 

δηλαδή η σχετική ταχύτητα εισόδου του νερού uo - στον κινούμενο με γραμμική ταχύτητα «κουβά» και -(uo- rω) cosθ η σχετική ταχύτητα εξόδου του νερού από τον «κουβά»

 

Στον άξονα y:

 

 

δηλαδή είναι μηδέν, λόγω συμμετρίας του «κουβά» και της γεωμετρίας πρόσκρουσης της υδάτινης φλέβας.

 

Συνεπώς η καθαρή εκροή ορμής του νερού είναι:

 

 

όπου είναι η ογκομετρική παροχή του νερού.

 

Η καθαρή εκροή στροφορμής του νερού είναι:

 

 

ή

 

 

Συνεπώς η ροπή Μαξονα που ασκείται στον «στοιχειώδη» όγκο είναι:

 

 

Η ροπή που εφαρμόζεται στον άξονα της υδροτουρμπίνας από το «στοιχειώδη» όγκο είναι ίση και αντίθετη απ΄ αυτήν που ασκεί ο άξονας στο «στοιχειώδη όγκο Μαξονα:

 

 


 

Σόλων Ζαρκανίτης, PhD
Σπάτα 16/2/2010