Υδραυλική

Υδροτουρμπίνα Francis

 

Υδροτουρμπίνα – Υδροστρόβιλος Francis

 

Η υδροτουρμπίνα Francis είναι ένας τροχός – δρομέας (runner) – που φέρει περιφερειακά ειδικά διαμορφωμένα σταθερά πτερύγια (vanes). Ο δρομέας βρίσκεται μέσα σε μια φωλιά – κατοικία – μεταβλητής κυκλικής διατομής και σπειροειδούς γεωμετρίας η οποία φέρει μεταβλητής θέσης πτερύγια – κλαπέτα (guide vanes). Η φωλιά του δρομέα τροφοδοτείται με νερό από τον αγωγό τροφοδοσίας και τα κλαπέτα της φωλιάς καθοδηγούν το νερό, ώστε να προσκρούει εφαπτομενικά στα πτερύγια του δρομέα, Η φωλιά είναι σπειροειδούς γεωμετρίας ώστε το εναπομείναν νερό – νερό που δεν έχει ακόμα εισρεύσει στον δρομέα - στα κατάντη της κυκλικής του ροής να αποκτά μεγαλύτερη στροφορμή. Επειδή η περιφερειακή ροή του νερού στη φωλιά. ελαττώνεται λόγω εισροής του νερού στο δρομέα, ελαττώνεται παράλληλα και η διατομή του σπειροειδούς αγωγού της φωλιάς.

Τα κλαπέτα της φωλιάς εκτρέπουν το νερό, δημιουργούν μια εφαπτομενική ταχύτητα στο νερό και κατά συνέπεια μια στροφορμή στο νερό. Το νερό μετά εισέρχεται στον δρομέα της τουρμπίνας και μεταφέρει την στροφορμή του σαν ροπή στον άξονα της τουρμπίνας. Η γεωμετρία των πτερυγίων είναι τέτοια ώστε να εξασκείται δύναμη στον τροχό και να τον θέτει σε περιστροφή. Το νερό αφού περάσει από τον δρομέα της τουρμπίνας παροχετεύεται σε κατάλληλο παρακείμενο αποδέκτη – ποταμό ή άλλη τεχνητή λίμνη. Σκοπός ενός βέλτιστου σχεδιασμού μιας τουρμπίνας Francis είναι το νερό να εξέρχεται χωρίς στροβιλισμό με την ελάχιστη δυνατή κινητική και δυναμική ενέργεια. Έτσι το νερό θα έχει αποδώσει σχεδόν όλο το μηχανικό ενεργειακό του περιεχόμενο/φορτίο στην υδροτουρμπίνα.

Στην ουσία η τουρμπίνα Francis είναι η πλέον εξελιγμένη μορφή «παλιομοδίτικου» νερόμυλου και χρησιμοποιείται κατά προτίμηση έναντι άλλων τύπων υδροτουρμπίνας.

Οι υδροτουρμπίνες Francis χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε υδροηλεκτρικά εργοστάσια παραγωγής ηλεκτρικής ισχύος, μπορούν να χρησιμοποιηθούν με πολύ μικρή διαφορά υψομετρικής στάθμης υδατόπτωσης (< 2 m ), να κατασκευαστούν από μικρά έως πολύ μεγάλα μεγέθη (> 700 Μ W) και έχουν πολύ μεγάλο βαθμό απόδοσης (>90%). Οι υδροτουρμπίνες Francis μπορούν ακόμα, να λειτουργήσουν και «ανάποδα», σαν αντλίες δηλαδή, και να αντλήσουν το νερό από ένα ρεζερβουάρ νερού χαμηλότερης υψομετρικής στάθμης σ’ ένα ανώτερης στάθμης σε περιόδους χαμηλής ζήτησης ηλεκτρικού φορτίου προς επαναχρησιμοποίησή του σε περιόδους ψηλής ζήτησης.

 

Η μετάδοση της ορμής του νερού στον τροχό Francisλοιπόν, τον θέτει σε περιστροφική κίνηση. Εδώ, θα αναπτύξουμε τη μαθηματική ανάλυση της φυσικής αυτής κατάστασης λειτουργίας και θα προσδιορίσουμε τη ροπή που αναπτύσσει μια υδροτουρμπίνα Francis στον άξονά της.

 

 

Ξεκινάμε εφαρμόζοντας ένα ισοζύγιο ορμής πάνω στον «στοιχειώδη» όγκο που περιλαμβάνει όλο τον τροχό – δρομέα – Francis με τα σταθερά πτερύγια, όπως στο παρακάτω σχήμα. Ο «στοιχειώδης» όγκος είναι ένα κούφιο κυλινδρικό κέλυφος εξωτερικής ακτίνας ro και επιφάνειας So, εσωτερικής ακτίνας ri και επιφάνειας Si και πλάτους L.

 

 

Το ισοζύγιο ορμής – 2ος νόμος Νεύτωνα – είναι:

 

 

Το «εξωτερικό» γινόμενο της παραπάνω εξίσωσης με ένα διάνυσμα θέσης r δίνει:

 

 

Το αριστερό σκέλος της παραπάνω εξίσωσης είναι η συνισταμένη ροπή ΣΜ που εξασκείται στον «στοιχειώδη» όγκο απ’ όλες τις δυνάμεις που επενεργούν στο «στοιχειώδη» όγκο, καθόσον:

 

 

Το δεξί σκέλος της παραπάνω εξίσωσης είναι:

 

 

όπου G είναι η στροφορμή του «στοιχειώδους» όγκου:

 

 

Αλλά η ολική παράγωγος της ορμής είναι:

 

 

όπου ο πρώτος όρος του αθροίσματος:

 

 

παριστάνει τη συσσώρευση της ορμής στον «στοιχειώδη όγκο V και ο δεύτερος όρος:

 

 

παριστάνει τη καθαρή εκροή της ορμής από τον «στοιχειώδη όγκο V και εξωτερικής (κλειστής) επιφάνειας So + Si + Παράπλευρη και n είναι το κάθετο διάνυσμα στην απειροστή εξωτερική επιφάνεια dS του απειροστού στοιχείου του «στοιχειώδους» όγκου dV , προς τα «έξω» - στη κατεύθυνση δηλαδή, της εκροής της ορμής και όχι ως προς την κυρτότητα της επιφάνειας. Εδώ έχουμε κάνει την παραδοχή ότι το νερό κινείται κατά επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο κίνησης του τροχού – δρομέα, δεν υπάρχει δηλαδή, αξονική κίνηση νερού.

 

Συνεπώς το ισοζύγιο ορμής ή το ισοζύγιο στροφορμής της υδροτουρμπίνας Francis είναι:

 

 

Η συνισταμένη ροπή ΣΜ είναι η ροπή που εξασκείται από τον άξονα της τουρμπίνας στον τροχό – «στοιχειώδη» όγκο Μαξονα, και r είναι το διάνυσμα θέσης των εσωτερικών σημείων του «στοιχειώδους» όγκου ως προς το κέντρο του άξονα περιστροφής της τουρμπίνας.

 

Σε μόνιμη κατάσταση, δηλαδή για σταθερή γωνιακή ταχύτητα του τροχού - δρομέα ω, για σταθερή παροχή νερού , είναι:

 

 

Το επιφανειακό ολοκλήρωμα:

 

 

είναι η καθαρή εκροή στροφορμής από το «στοιχειώδη» όγκο V εξωτερικής κλειστής επιφάνειας So+ Si +Παράπλευρης.

 

Είναι δε:

 

 

καθόσον:

 

 

σ’ αυτή την επιφάνεια.

 

Τώρα πρέπει να προσδιοριστεί η μεταβολή της καθαρής εκροής της ορμής. Θεωρήστε ότι το νερού προσκρούει υπό γωνία α στα κλαπέτα - μεταβλητής θέσης πτερύγια (guide vanes) - της υδροτουρμπίνας που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω και φέρει πτερύγια που σχηματίζουν γωνία β ως προς την ακτινική κατεύθυνση του τροχού - δρομέα, σύμφωνα με τη γεωμετρία του παρακάτω σχήματος.

 

 

Αν r είναι το διάνυσμα θέσης των σημείων μιας επιφάνειας του «στοιχειώδους» όγκου με αρχή το κέντρο του άξονα – άξονας z της γεωμετρίας – του τροχού και κάνοντας αλλαγή των συντεταγμένων από καρτεσιανές σε κυλινδρικές, η καθαρή εκροή της ορμής του νερού, είναι:

 

 

Στην επεξεργασία του παραπάνω επιφανειακού ολοκληρώματος χρησιμοποιήθηκαν:

 

1.       Σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων, τα ορθογώνια και μοναδιαία διανύσματα στους άξονες r, θ, z:

 

 

ικανοποιούν τις σχέσεις για ένα δεξιόστροφο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων:

 

 

2.       Το μοναδιαίο διάνυσμα n είναι θετικό κατά τη κατεύθυνση της εκροής (γιατί το επιφανειακό ολοκλήρωμα παριστάνει καθαρή εκροή ορμής) και κατά συνέπεια είναι:

 

Στην επιφάνεια εκροής Si

Στην επιφάνεια εισροής So

 

3.       Στις αντίστοιχες εκφράσεις των ταχυτήτων του νερού στις επιφάνειες So και Si, οι συνιστώσες τους στην κατεύθυνση r ελήφθησαν με αρνητικό πρόσημο, ώστε οι αντίστοιχοι συμβολισμοί να παριστούν θετικές ποσότητες. Θεωρούνται, δηλαδή, ότι είναι ανεξάρτητες από την γωνιακή συντεταγμένη θ.

 

4.       Έγινε η παραδοχή ότι η ταχύτητα εισροής uo του νερού στον τροχό – δρομέα της τουρμπίνας και οι συνιστώσες της είναι παντού οι ίδιες πάνω στην επιφάνεια So. Παρομοίως για την ταχύτητα εκροής uι του νερού και τις συνιστώσες της στην επιφάνεια Sι.

 

Έτσι η εξίσωση ορμής - στροφορμής μετασχηματίζεται σε:

 

 

Το ισοζύγιο μάζας νερού σε μόνιμη κατάσταση στο «στοιχειώδη» όγκο είναι:

 

 

και

 

 

και

 

 

και

 

 

και

 

και

 

ή

 

 

 

όπου είναι η μαζική παροχή νερού στην υδροτουρμπίνα, η ογκομετρική παροχή νερού στην υδροτουρμπίνα και ρ η πυκνότητα του νερού.

 

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις μαζικής παροχής στη σχέση ισοζυγίου ορμής (και στροφορμής), είναι:

 

 

Στην είσοδο του τροχού – δρομέα της τουρμπίνας, η ταχύτητα του νερού uο είναι:

 

 

Αν α είναι η γωνία της θέσης των κλαπέτων – μεταβλητής θέσης πτερυγίων (guide vanes), τότε:

 

 

Συνεπώς:

 

και

 

Αλλά, λόγω ισοζυγίου μάζας:

 

 

Συνεπώς:

 

 

Στην έξοδο του τροχού – δρομέα της τουρμπίνας, η ταχύτητα του νερού ui είναι:

 

 

όπου είναι η γραμμική ταχύτητα του τροχού – δρομέα της τουρμπίνας στη θέση ri και η σχετική ταχύτητα του νερού ως προς τα σταθερά πτερύγια του τροχού στην ίδια θέση. Θεωρώντας το νερό να εξέρχεται εφαπτομενικά ως προς τα σταθερά πτερύγια του τροχού – δρομέα, τα οποία σχηματίζουν γωνία β ως προς την ακτινική κατεύθυνση, είναι:

 

 

ή

 

 

Συνεπώς:

 

και

 

Αλλά πάλι, λόγω ισοζυγίου μάζας:

 

 

Συνεπώς:

 

 

 

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις επιτρόχιων ταχυτήτων uθo και uθι στη σχέση ροπής, είναι:

 

 

ή

 

 

Συνεπώς η ροπή Μαξονα που ασκείται στον «στοιχειώδη» όγκο είναι:

 

 

Η ροπή που εφαρμόζεται στον άξονα της υδροτουρμπίνας από το «στοιχειώδη» όγκο είναι ίση και αντίθετη απ΄ αυτήν που ασκεί ο άξονας στο «στοιχειώδη όγκο Μαξονα:

 

<

 


 

Σόλων Ζαρκανίτης, PhD
Σπάτα 17/2/2010