Υδραυλική

Υδροστατική

 

Διεπιφάνεια Δύο Μη-Αναμειγνυόμενων Υγρών

 

Δείξτε ότι η διεπιφάνεια δύο υγρών διαφορετικών πυκνοτήτων που δεν αναμειγνύονται και ηρεμούν είναι οριζόντια, χρησιμοποιώντας:

  1. Την αρχή ελαχίστης ενέργειας σε κατάσταση ισορροπίας.
  2. Η πίεση στη διεπιφάνεια είναι παντού η ίδια.

 

 

Επίπλευση Χάλυβα σε Νερό

 

Ένα χαλύβδινο κέλυφος επιπλέει, σχεδόν τελείως βυθισμένο, στο νερό. Αν η εξωτερική διάμετρος του σφαιρικού κελύφους είναι 1 m και η σχετική πυκνότητα του χάλυβα είναι 7,8 ποια είναι η εσωτερική διάμετρος του σφαιρικού κελύφους;

 

 

Επίπλευση σε Διεπιφάνεια Δύο Υγρών

 

Ένας χαλύβδινος κύβος επιπλέει σε υδράργυρο. Αν προστεθεί νερό ώστε να σκεπάσει τον κύβο, ποιο ποσοστό του όγκου του κύβου παραμένει βυθισμένο στον υδράργυρο; Το αποτέλεσμα εξαρτάται από το σχήμα του χαλύβδινου αντικειμένου; Το αποτέλεσμα εξαρτάται από το υλικό του αντικειμένου;

Δίνονται οι πυκνότητες του νερού 1 gr cm-3, του υδραργύρου 13,6 gr cm-3 και του χάλυβα 7,8 gr cm-3 στους 20 oC.

 

 

Δύναμη σε Φράγμα

 

Ευθύγραμμο φράγμα μήκους L συγκρατεί νερό ύψους h.

Ζητούνται:

  1. Η δύναμη που εξασκεί το νερό στο φράγμα.
  2. Το «σημείο εφαρμογής» αυτής της δύναμης.
  3. Την κατανομή ροπής αυτής της δύναμης ως προς τον διαμήκη άξονα της βάσης του φράγματος.

 

 

Επίπλευση Παγόβουνου

 

Ένα παγόβουνο όγκου 2 km3 επιπλέει στο Βόρειο Παγωμένο Ωκεανό. Βρείτε το ποσοστό του όγκου του που είναι βυθισμένο στο θαλασσινό νερό. Η απάντηση είναι ανεξάρτητη από το σχήμα ή το μέγεθος του παγόβουνου;

Δίνονται η πυκνότητα του πάγου 0,92 gr cm-3 στους 0 oC και η πυκνότητα του θαλασσινού νερού 1,027 gr cm-3 στους 0 oC.

 

 

Κλιματικές Αλλαγές και Λιώσιμο Πάγων

 

Ένα παγόβουνο όγκου 10 km3 επιπλέει στο Βόρειο Παγωμένο Ωκεανό. Βρείτε το ποσοστό της ανύψωσης της στάθμης της θάλασσας που θα προκύψει από το λιώσιμο αυτού του παγόβουνου. Η απάντηση είναι ανεξάρτητη από το σχήμα ή το μέγεθος του παγόβουνου;

Δίνονται η πυκνότητα του πάγου 0,92 gr cm-3 στους 0 oC, η πυκνότητα του θαλασσινού νερού 1,027 gr cm-3 στους 0 oC και η πυκνότητα του καθαρού νερού 1 gr cm-3 στους 0 oC.

 

 

Υδραυλική Πρέσα – Αρχή Pascal

 

Στο μικρό έμβολο, διατομής 2 cm, ενός υδραυλικού πιεστηρίου, εξασκείται δύναμη F η οποία εξισορροπεί μια δύναμη 2 tons που εξασκείται στο μεγάλο έμβολο διαμέτρου 10 cm.

Ζητούνται:

  1. Η δύναμη F.
  2. Την μετατόπιση του μεγάλου εμβόλου αν η μετατόπιση του μικρού εμβόλου είναι 0,5 cm. Θεωρείστε τις απώλειες τριβών του υδραυλικού υγρού αμελητέες.

 

 

Αρχή του Αρχιμήδη

 

Ξεκινήστε από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα:

 

Ισοζύγιο Ορμής

 

Γράψτε το ισοζύγιο ορμής (δυνάμεων) για ένα «στοιχειώδη» όγκο dV ακίνητου υγρού σε βάθος z από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και δείξτε:

 

 

όπου f είναι η βαρυτική δύναμη που ασκείται στο υγρό «στοιχειώδους» όγκου dV και σ είναι ο τελεστής ορθών τάσεων του υγρού στο «στοιχειώδη» όγκο dV.

 

Έτσι:

 

 

όπου δij είναι το δέλτα Kronecker: δij = 1 για i = j και δij = 0 για i ≠ j.

 

Οπότε:

 

 

Καθόσον όμως η βαρυτική δύναμη f είναι «διατηρητική» δύναμη, τότε είναι:

 

 

όπου Φ είναι η συνάρτηση δυναμικού.

 

Συνεπώς:

 

 

Παρατηρείστε ότι η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι η ελεύθερη επιφάνεια ενός υγρού είναι και μια ισοδυναμική επιφάνεια του εξωτερικού πεδίου δυνάμεων (βαρυτικό πεδίο).

 

Αν δεχθούμε:

 

 

δηλαδή η ισοδυναμική επιφάνεια στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού (z = 0) είναι μηδέν και τη σταθερά της παραπάνω εξίσωσης ορμής μηδέν, δηλαδή η πίεση στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι μηδέν, τότε:

 

Αρχή Pascal

 

όπου ρ είναι η πυκνότητα του υγρού, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και z η απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.

 

Αν θεωρήσουμε τώρα έναν «βυθισμένο» όγκο V του ίδιου υγρού με εξωτερική κλειστή επιφάνεια S, τότε η συνολική δύναμη F που εξασκείται από το υπόλοιπο υγρό στην επιφάνεια S είναι:

 

 

Εφαρμόστε το θεώρημα Gauss – Ostrogradsky και πάρτε:

 

 

Είναι προφανές ότι αν ο «βυθισμένος» όγκος V είναι από άλλο υλικό, οποιασδήποτε πυκνότητας, το αποτέλεσμα παραμένει το ίδιο!

 

Συνεπώς, να και η Αρχή του Αρχιμήδη:

 

 

Η δύναμη που ασκεί ένα ακίνητο υγρό σ’ ένα βυθισμένο αντικείμενο είναι ίση με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού.

 

 

Το αντικείμενο μπορεί και να είναι και μισο-βυθισμένο, αλλά τότε η εξωτερική επιφάνεια θα είναι η διαβρεχόμενη επιφάνεια.

 

Αυτή η δύναμη καλείται Άνωση.

 

Δείξτε ότι η αρχή του Αρχιμήδη ισχύει όταν στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού εφαρμόζεται μια εξωτερική πίεση, για παράδειγμα η ατμοσφαιρική πίεση patm. Αν δηλαδή:

 

 

καθόσον και πάλι:

 

 

Δείξτε ότι η «άνωση» του Αρχιμήδη δεν έχει πάντα φορά αντίθετη του βάρους, δηλαδή δεν είναι άνωση! Για παράδειγμα ένα βυθισμένο σώμα στον πυθμένα ενός δοχείου, ώστε να μην παρεμβάλλεται υγρό στη διεπιφάνεια επαφής σώματος – δοχείου. Ποια θα είναι η δύναμη της αντίδρασης του πυθμένα του δοχείου στο σώμα;

 

 

Αρχή Pascal & Αρχή Αρχιμήδη – Μέρος 2ο

 

Βασική προϋπόθεση στις αρχές Pascal και Αρχιμήδη είναι η παραδοχή ότι το υγρό είναι ασυμπίεστο. Δηλαδή η πυκνότητα του υγρού παραμένει σταθερή με την πίεση. Σε «μέτριες» πιέσεις είναι μια αποδεκτή παραδοχή, αλλά σε μεγάλες πιέσεις οι αποκλίσεις δεν είναι αμελητέες.

 

Ας θεωρήσουμε ένα υδραυλικό ρευστό με συντελεστή συμπιεστότητας 6,0 x 10-5 bar-1 και συνολικού όγκου 40 L, όταν δεν εξασκείται καμία πίεση, ότι περιέχεται σ’ ένα σύστημα υδραυλικής πρέσας. Αν στο έμβολο της πρέσας εξασκείται δύναμη αντίστασης όμοια με μια δύναμη ελατηρίου σταθεράς 7,5 x 106 N m-1, κατασκευάστε στο ίδιο διάγραμμα:

  1. Τη μετατόπιση του εμβόλου για ασυμπίεστο υγρό.
  2. Τη μετατόπιση του εμβόλου για συμπιεστό υγρό.

 

Αν η ειδική πυκνότητα του υδραυλικού υγρού είναι 0,88 και η ειδική θερμότητά του είναι 3,2 J gr-1 oC-1, ποια είναι η μέγιστη αναμενόμενη αύξηση θερμοκρασίας του υδραυλικού υγρού;

 


 

Σόλων Ζαρκανίτης, PhD
Σπάτα 10/2/2010