Υδραυλική

Μαθηματική Ανάλυση Φυγοκεντρικής Αντλίας

 

Αξονική Ροπή και Αξονική Ισχύς Φυγοκεντρικής Αντλίας

 

Μια φυγόκεντρη αντλία χρησιμοποιείται για τη άντληση νερού πυκνότητας ρ kg m-3 και παροχή m3 hr-1 . Θεωρήστε τη γεωμετρία της πτερωτής της αντλίας σαν κ’ αυτήν που φαίνεται στο Σχήμα 1. Θεωρήστε, επίσης, ότι η πτερωτή της αντλίας περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα Ν rev min-1 (rmp) και ότι η (απόλυτη) ταχύτητα του εισερχόμενου νερού στην πτερωτή είναι ακτινική.

Ζητούνται:

  1. Η αξονική ροπή που πρέπει να εξασκείται στην πτερωτή της αντλίας.
  2. Η αξονική ισχύς της αντλίας που απαιτείται να κινήσει το νερό.
  3. η γωνία κλίσης των πτερυγίων αi της πτερωτής, ώστε το νερό να εισέρχεται παράλληλα με τα πτερύγια της πτερωτής.
  4. Το αξονικό φορτίο στον άξονα της αντλίας αν η διάμετρός του είναι 25 mm και η πίεση στην είσοδο της αντλίας είναι ατμοσφαιρική.
  5. Την πίεση του νερού στην έξοδο της αντλίας.

 

 

 

Αριθμητική Εφαρμογή: Δίνονται τα τεχνικά χαρακτηριστικά της αντλίας στον παρακάτω Πίνακα 1.

 

Πίνακας 1. Τεχνικά Χαρακτηριστικά Αντλίας

 

 

 

 

 

Ν = 2900 rpm

 

2 ri = 63,5 mm

 

2 ro = 250 mm

αο = 45ο

 

Li = 10 mm

 

Lo = 7 mm

ρ = 1 .000 kg m-3

 

V = 3 0 m3 hr-1

 

 

 

 

Βοήθημα:

 

Αξονική Ροπή Αντλίας

 

Ξεκινήστε εφαρμόζοντας ένα ισοζύγιο ορμής πάνω στον «όγκο ελέγχου» που περιλαμβάνει όλη την πτερωτή με τα σταθερά πτερύγια, όπως στο παρακάτω Σχήμα 2. Ο «όγκος ελέγχου» είναι ένα κούφιο κωνικό-κυλινδρικό κέλυφος εξωτερικής ακτίνας ro, πλάτους Lo, εσωτερικής ακτίνας ri και πλάτους Li. Έστω V είναι ο όγκος του «όγκου ελέγχου» και S είναι η κλειστή εξωτερική επιφάνεια του «όγκου ελέγχου».

 

 

Αναλύστε την κλειστή εξωτερική επιφάνεια του «όγκου ελέγχου» S στις επιφάνειες:

α. Επιφάνεια εισόδου του νερού από το «μάτι» της πτερωτής της αντλίας Si :

 

 

β. Επιφάνεια εξόδου του νερού από την περίμετρο της πτερωτής της αντλίας Sο :

 

 

γ. Παράπλευρη επιφάνεια της πτερωτής της αντλίας Sπ:

 

 

 

 

Εφαρμόστε τα ισοζύγια ορμής και μάζας στον «όγκο ελέγχου».

 

Το ισοζύγιο ορμής – 2ος νόμος του Νεύτωνα – δίνει:

 

 

Το «εξωτερικό» γινόμενο της παραπάνω εξίσωσης με ένα διάνυσμα θέσης r δίνει:

 

 

Το αριστερό σκέλος της παραπάνω εξίσωσης είναι η συνισταμένη ροπή Σ Μ που εξασκείται στον «όγκο ελέγχου» απ’ όλες τις δυνάμεις που επενεργούν πάνω στον «όγκο ελέγχου», καθόσον:

 

 

Το δεξί σκέλος της παραπάνω εξίσωσης είναι:

 

 

όπου G είναι η στροφορμή του «όγκου ελέγχου»:

 

 

Αλλά η ολική παράγωγος της ορμής είναι:

 

 

όπου ο πρώτος όρος του αθροίσματος:

 

 

παριστάνει τη συσσώρευση της ορμής στον «όγκο ελέγχου», όγκου V και ο δεύτερος όρος:

 

 

παριστάνει τη καθαρή εκροή της ορμής από τον «όγκο ελέγχου», όγκου V και εξωτερικής (κλειστής) επιφάνειας So + Si + Παράπλευρη και n είναι το κάθετο διάνυσμα στην απειροστή εξωτερική επιφάνεια dS του «όγκου ελέγχου» προς τα «έξω» - στη κατεύθυνση δηλαδή, της εκροής της ορμής (και όχι ως προς την κυρτότητα της επιφάνειας).

 

Εδώ έχουμε κάνει την παραδοχή ότι το νερό κινείται κατά επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο κίνησης της πτερωτής, δεν υπάρχει δηλαδή, αξονική κίνηση νερού.

 

Συνεπώς το ισοζύγιο ορμής ή το ισοζύγιο στροφορμής της αντλίας είναι:

 

 

Η συνισταμένη ροπή ΣΜ είναι η ροπή που εξασκείται από τον άξονα της αντλίας στην πτερωτή – «όγκο ελέγχου» Μαξονα, και r είναι το διάνυσμα θέσης των εσωτερικών σημείων του «όγκου ελέγχου» ως προς το κέντρο του άξονα περιστροφής της αντλίας.

 

Σε μόνιμη κατάσταση , δηλαδή για σταθερή γωνιακή ταχύτητα της πτερωτής ω , για σταθερή παροχή νερού , η συσσώρευση ορμής στον «όγκο ελέγχου» V είναι:

 

 

Το επιφανειακό ολοκλήρωμα:

 

 

είναι η καθαρή εκροή στροφορμής από τον «όγκο ελέγχου» V εξωτερικής κλειστής επιφάνειας So+ Si +Παράπλευρης.

 

Είναι δε:

 

 

καθόσον:

 

>

 

σ’ αυτή την επιφάνεια.

 

Τώρα πρέπει να προσδιοριστεί η μεταβολή της καθαρής εκροής της ορμής. Θεωρήστε ότι το νερού προσκρούει υπό γωνία α στα πτερύγια (vanes) της πτερωτής της αντλίας που περιστρέφονται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω και τα πτερύγια σχηματίζουν γωνία β ως προς την ακτινική κατεύθυνση της πτερωτής, σύμφωνα με τη γεωμετρία του παρακάτω Σχήματος ****.

 

 

Αν r είναι το διάνυσμα θέσης των σημείων μιας επιφάνειας του «όγκου ελέγχου» με αρχή το κέντρο του άξονα – άξονας z της γεωμετρίας – της πτερωτής και κάνοντας αλλαγή των συντεταγμένων από καρτεσιανές σε κυλινδρικές, η καθαρή εκροή της ορμής του νερού, είναι:

 

 

Στην επεξεργασία του παραπάνω επιφανειακού ολοκληρώματος χρησιμοποιήθηκαν:

  1. Σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων, τα ορθογώνια και μοναδιαία διανύσματα στους άξονες r, θ, z:
  2.  

     

    ικανοποιούν τις σχέσεις για ένα δεξιόστροφο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων:

     

     

  3. Το μοναδιαίο διάνυσμα n είναι θετικό κατά τη κατεύθυνση της εκροής (γιατί το επιφανειακό ολοκλήρωμα παριστάνει καθαρή εκροή ορμής) και κατά συνέπεια είναι:
  4.  

    Στην επιφάνεια εκροής So

    Στην επιφάνεια εισροής Si

     

  5. Στις αντίστοιχες εκφράσεις των ταχυτήτων του νερού στις επιφάνειες Si και So , οι συνιστώσες τους στην κατεύθυνση r ελήφθησαν με αρνητικό πρόσημο, ώστε οι αντίστοιχοι συμβολισμοί να παριστούν θετικές ποσότητες. Θεωρούνται, δηλαδή, ότι είναι ανεξάρτητες από την γωνιακή συντεταγμένη θ.
  6.  

  7. Έγινε η παραδοχή ότι η ταχύτητα εισροής ui του νερού στην πτερωτή της αντλίας και οι συνιστώσες της είναι παντού οι ίδιες πάνω στην επιφάνεια Si. Παρομοίως για την ταχύτητα εκροής uo του νερού και τις συνιστώσες της στην επιφάνεια So .

 

Έτσι η εξίσωση ορμής - στροφορμής μετασχηματίζεται σε:

 

 

Το ισοζύγιο μάζας νερού σε μόνιμη κατάσταση στον «όγκο ελέγχου» δίνει:

 

 

και

 

 

και

 

 

και

 

 

και

 

και

 

ή

 

 

όπου είναι η μαζική παροχή νερού της αντλίας, η ογκομετρική παροχή νερού της αντλίας και ρ η πυκνότητα του νερού.

 

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις μαζικής παροχής στη σχέση ισοζυγίου ορμής (και στροφορμής), είναι:

 

 

Στην είσοδο της πτερωτής της αντλίας («μάτι»), η ταχύτητα του νερού ui είναι:

 

 

και

 

 

όπου είναι η γραμμική ταχύτητα της πτερωτής της αντλίας στη θέση ri και η σχετική ταχύτητα του νερού ως προς τα σταθερά πτερύγια της πτερωτής στην ίδια θέση.

 

Αν α i είναι η γωνία της θέσης των πτερυγίων (vanes) της πτερωτής ως προς την επιτρόχια κατεύθυνση και β iη γωνία της ταχύτητας του εισερχόμενου νερού πάλι ως προς την επιτρόχια κατεύθυνση, Σχήμα ***, τότε:

 

 

και

 

 

 

Συνεπώς:

 

καθόσον

 

και

 

 

 

Αλλά, λόγω ισοζυγίου μάζας:

 

 

Συνεπώς:

 

 

Αν δεν υπάρχουν πτερύγια μεταβλητής θέσης (guide vanes) στην είσοδο – «μάτι» της αντλίας, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το νερό εισέρχεται ακτινικά στην αντλία, δηλαδή:

 

 

και

 

 

ή

 

 

ή

 

 

Στην έξοδο της πτερωτής της αντλίας, η ταχύτητα του νερού uo είναι:

 

 

όπου είναι η γραμμική ταχύτητα της πτερωτής της αντλίας στη θέση r ο και η σχετική ταχύτητα του νερού ως προς τα σταθερά πτερύγια της πτερωτής στην ίδια θέση. Θεωρώντας το νερό να εξέρχεται εφαπτομενικά ως προς τα πτερύγια της πτερωτής, τα οποία σχηματίζουν γωνία α o ως προς την επιτρόχια κατεύθυνση, είναι:

 

 

ή

 

 

Συνεπώς:

 

και

 

Αλλά πάλι, λόγω ισοζυγίου μάζας:

 

 

Συνεπώς:

 

 

 

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις επιτρόχιων ταχυτήτων uθ i και u θ o στη σχέση ροπής, είναι:

 

 

Συνεπώς η ροπή Μαξονα που ασκείται στον «όγκο ελέγχου» είναι:

 

 

Η ροπή που εφαρμόζεται στον άξονα της αντλίας από τον «όγκο ελέγχου» είναι ίση και αντίθετη απ΄ αυτήν που ασκεί ο άξονας στον «όγκο ελέγχου» Μαξονα :

 

 

 

Παρατήρηση:

Παραβάλετε την ομοιότητα της παραπάνω φυσικής κατάστασης και μαθηματικής επεξεργασίας με την θεώρηση, φυσική και μαθηματική, της υδροτουρμπίνας Francis. Φυσικό και επόμενο, καθόσον η υδροτουρμπίνα αποτελεί την αντιστροφή της λειτουργίας της αντλίας. Λόγω αυτής της ομοιότητας οι υδροτουρμπίνες Francis χρησιμοποιούνται και ως αντλίες για την αποθήκευση υδραυλικής ενέργειας σε ταμιευτήρες νερού σε ώρες χαμηλής ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας.

 

Αξονική Ισχύς Αντλίας

 

Βρείτε την υδραυλική ισχύ της αντλίας P από τη σχέση:

 

 

Συνεπώς

 

 

ή

 

 

Από την τελευταία σχέση το θεωρητικό μανομετρικό ύψος της αντλίας Ht είναι:

 

 

ή

 

 

ή

 

 

 

όπου

 

 

είναι η γραμμική ταχύτητα της πτερωτής στη θέση ro .

 

Η τελευταία σχέση μανομετρικού ύψους γράφεται:

 

 

όπου

 

 

είναι η μέγιστη παροχή βασισμένη στη μέγιστη γραμμική ταχύτητα της πτερωτής.

 

Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη μεταβολή του μανομετρικού ύψους με τον λόγο ri/roγια σταθερή γεωμετρία πτερυγίων της αντλίας. Παρατηρείστε ότι το μέγιστο μανομετρικό ύψος ελαττώνεται καθώς μικραίνει ο λόγος ri/ro.

 

 

Το θεωρητικό μανομετρικό ύψος της αντλίας Ht μπορεί επίσης να γραφτεί ως:

 

 

Η απόδειξη της παραπάνω σχέσης μπορεί να γίνει ως εξής:

 

Ξεκινήστε από τη σχέση:

 

 

Η οποία γίνεται:

 

 

ή

 

 

Δεδομένου ότι:

 

και

 

και

 

και

 

Συνεπώς:

 

 

Αλλά από τον νόμο των συνημιτόνων είναι:

 

 

και

 

 

και αντικαθιστώντας είναι:

 

 

Βλέπουμε, λοιπόν, ότι το θεωρητικό μανομετρικό ύψος της αντλίας είναι το άθροισμα του έργου των φυγοκεντρικών δυνάμεων, της κινητικής ενέργειας και της δυναμικής ενέργειας (πίεσης) λόγω της αυξανόμενης διατομής της πτερωτής στο πέρασμα του υγρού:

 

Μανομετρικό Ύψος = ( Έργο Φυγοκεντρικών Δυνάμεων +

Κινητική Ενέργεια Υγρού +

Δυναμική Ενέργεια Υγρού )

/ Μονάδα Βάρους Υγρού

 


 

Σόλων Ζαρκανίτης, PhD
Σπάτα 29/3/2010