Μη Ισεντροπική Ροή

  1. Ροή σε αγωγό μεταβλητής διατομής με θερμική αλληλεπίδραση

Θεωρητική Ανάλυση

 

Θεωρούμε τη ροή ενός ιδανικού (τέλειου) αερίου κατά μήκος ενός αγωγού μεταβλητής διατομής. Η ροή εδώ δεν θεωρείται αδιαβατική καθόσον επιτρέπεται η θερμική αλληλεπίδραση με το περιβάλλον μέσω των τοιχωμάτων του αγωγού. Η ροή πάντως του αερίου γίνεται χωρίς τριβές.

 

Η εξίσωση συνέχειας σε μια διατομή του αγωγού είναι:

 

 

που ρ η πυκνότητα, θ η ταχύτητα του αερίου και Α το εμβαδόν διατομής του αγωγού.

Η παραπάνω σχέση σε διαφορική μορφή (σε διαφορικό όγκο ελέγχου) είναι:

 

 

αλλά το συνολικό ισοζύγιο μάζας επιβάλλει (χωρίς προσθήκη ή αφαίμαξη μάζας στο σύστημα):

 

 

Συνεπώς η εξίσωση συνέχειας γράφεται:

 

 

ή

 

 

Η εξίσωση ορμής (2ος νόμος Νεύτωνα στα ρευστά - εξίσωση Euler) σε διαφορική μορφή είναι:

 

 

Η καταστατική εξίσωση του ιδανικού αερίου είναι:

 

 

ή σε διαφορική μορφή είναι:

 

 

Από τον ορισμό του αριθμού Mach M είναι:

 

 

και το πλήρες διαφορικό είναι:

 

 

και

 

Επίσης είναι:

 

 

Η καταστατική εξίσωση του ιδανικού αερίου, λόγω της εξίσωσης συνέχειας είναι:

 

 

η τελευταία λόγω της εξίσωσης ορμής γίνεται:

 

 

η οποία λόγω των δύο πιο πάνω σχέσεων για το διαφορικό της ταχύτητας γίνεται:

 

 

ή

 

ή

 

 

Η θερμοκρασία ηρεμίας Το, εξ ορισμού είναι:

 

ή

 

 

ή

 

 

Το πλήρες διαφορικό της τελευταίας είναι:

 

 

και σε διαφορική μορφή είναι:

 

 

ή

 

 

Με αντικατάσταση, η παραπάνω σχέση γίνεται:

 

 

ή

 

ή

 

ή

 

 

Η μεταβολή λοιπόν του αριθμού Mach Μ του αερίου είναι αποτέλεσμα δύο παραγόντων, λόγω της μεταβολής της διατομής του αγωγού Α και λόγω της μεταβολής της θερμοκρασίας ηρεμίας Το με την προσθήκη ή αφαίρεση θερμότητας στο αέριο.

 

 

Αδιαβατική Περίπτωση To = σταθερή:

Αν το σύστημα είναι αδιαβατικό, δηλαδή έχουμε ισεντροπική ροή, τότε είναι:

 

και η παραπάνω σχέση γίνεται:

 

 

 

Σταθερή Διατομή Αγωγού A:

Αν διατομή του αγωγού Α είναι σταθερή, αλλά το τοίχωμα μη αδιαβατικό, τότε είναι:

 

 

 

Σταθερός Αριθμός Mach Μ:

Αν ο αριθμός Mach Μ διατηρείται σταθερός κατά μήκος του αγωγού με θερμική αλληλεπίδραση, τότε είναι:

 

 

Παράδειγμα 1.

Αέρας ρέει χωρίς τριβές σε αγωγό συγκλίνουσας διατομής. Στην είσοδο ο αέρας έχει θερμοκρασία 300 K και πίεση 600 kPa. Η διατομή εξόδου είναι η μισή της διατομής εισόδου. Αν ο αριθμός Mach Μ διατηρείται σταθερός και ίσος προς 0,8 καθόλον το μήκος του αγωγού, ζητούνται:

  1. η θερμοκρασία ηρεμίας στην είσοδο και την έξοδο του αγωγού.
  2. το ποσό θερμότητας που πρέπει να προστεθεί ή να αφαιρεθεί από το σύστημα.
  3. η μεταβολή της πίεσης ηρεμίας.
  4. η μεταβολή της εντροπίας.

Θεωρήστε τον αέρα ιδανικό αέριο με γ = 1,4.

 

 

Παράδειγμα 2.

Ένα μίγμα αέρα-καυσίμου εισέρχεται σε ένα θάλαμο καύσης και ρέει χωρίς τριβές. Στην είσοδο του θαλάμου καύσης, το μίγμα έχει ταχύτητα 100 m s-1 θερμοκρασία 600 Κ και πίεση 150 kPa. Αν ο λόγος καυσίμου αέρα είναι 0,04 και η θερμογόνος δύναμη του καυσίμου είναι 45 ΜJ kg-1, ζητούνται:

  1. ο αριθμός Mach Μ των καυσαερίων μετά την ολοκλήρωση της καύσης.
  2. η μεταβολή της θερμοκρασίας ηρεμίας.
  3. η μεταβολή της πίεσης ηρεμίας.
  4. η πίεση των καυσαερίων μετά την ολοκλήρωση της καύσης.
  5. η μεταβολή της εντροπίας.

Θεωρήστε τα καυσαέρια ως ιδανικό αέριο με ιδιότητες σαν και αυτές του αέρα, γ = 1,4.

 

Παράδειγμα 3.

Ιδανικό αέριο ρέει χωρίς τριβές σε αγωγό σταθερής διατομής με αριθμό Mach Μ = 1. Ζητείται το ποσό θερμότητας που πρέπει να μεταφερθεί στο αέριο, ώστε:

  1. ο αριθμός Mach Μ να γίνει άπειρος.
  2. ο αριθμός Mach Μ να γίνει 0.

 

 

Παράδειγμα 4.

Δείξτε τις παρακάτω σχέσεις για άτριβη ροή ιδανικού αερίου σε αγωγό μεταβλητής διατομής με θερμική αλληλεπίδραση:

 

 

και

 

 

 

Παράδειγμα 5.

Αέρας σε θερμοκρασία ηρεμίας 600 Κ και πίεση ηρεμίας 700 kPa εισέρχεται σε αγωγό σταθερής διατομής 2 cm. Η θερμότητα μεταφέρεται με ρυθμό 500 kJ kg-1. Κατασκευάστε το γράφημα της μεταβολής του μαζικού ρυθμού ροής σαν συνάρτηση της πίεσης ανάδρασης στην περιοχή 0 έως 500 kPa. Θεωρήστε τη ροή άτριβη και τον αέρα ιδανικό αέριο.

 

 

Παράδειγμα 6.

Δείξτε ότι η μεταβολή εντροπίας για άτριβη ροή ιδανικού αερίου σε αγωγό μεταβλητής διατομής είναι:

 

 

Κατασκευάστε το γράφημα T - s για τον αέρα, γ = 1,4. (Γραμμή Rayleigh). Τι παρατηρείτε; Γιατί όταν η ροή είναι υπερηχητική, η προσθήκη θερμότητας ελαττώνει τον αριθμό Mach M; Ομοίως αν η υπερηχητική ροή ψυχθεί, γιατί αυξάνει ο αριθμός Mach

 


 

Σόλων Ζαρκανίτης, PhD
Σπάτα 20/5/2015