1. Ροή σε Ακροφύσια

Θεωρητική Ανάλυση

 

Θεωρούμε τη ροή ενός ιδανικού (τέλειου) αερίου κατά μήκος x ενός αγωγού μεταβλητής διατομής A(x). Η ροή θεωρείται αδιαβατική και χωρίς τριβές, δηλαδή είναι ισεντροπική.

 

Ο μαζικός ρυθμός ροής σε κάθε διατομή του αγωγού A είναι:

 

 

όπου ρ η πυκνότητα του αερίου και u η ταχύτητά του.

Η καταστατική εξίσωση του ιδανικού αερίου είναι:

 

 

Η ταχύτητα του αερίου u είναι:

 

 

Η πίεση ηρεμίας po είναι:

 

 

Η θερμοκρασία ηρεμίας Το είναι:

 

 

Έτσι η σχέση ροής γίνεται:

 

 

ή

 

 

ή

 

 

Ο ανηγμένος μαζικός ρυθμός ροής (λόγος m/A) είναι ανάλογος της πίεσης ηρεμίας και αντιστρόφως ανάλογος της τετραγωνικής ρίζας της θερμοκρασίας ηρεμίας To του αερίου.

 

Το παρακάτω γράφημα απεικονίζει τη συνάρτηση σαν συνάρτηση του αριθμού Mach Μ για τον αέρα με γ = 1,4 και R = 287 J kg-1 K-1.

 

 

Η τιμή του ανηγμένου ρυθμού ροής γίνεται μέγιστη, όταν η διατομή Α γίνεται ελάχιστη.

 

Η παράγωγος της παραπάνω σχέσης ως προς τον αριθμό Mach Μ, είναι:

 

 

και η εξίσωση μεγίστου ρυθμού είναι:

 

 

ή

 

 

ή

 

Η μέγιστη τιμή του ανηγμένου μαζικού ρυθμού είναι:

 

 

Ο λόγος της κρίσιμης διατομής Α/Α* είναι:

 

 

ή

 

 

Το παρακάτω γράφημα δείχνει τη μεταβολή του λόγου κρίσιμης διατομής Α/A* ως συνάρτηση του αριθμού Mach Μ. Ο λόγος δεν μπορεί να γίνει μικρότερος της μονάδας και για κάθε τιμή του λόγου αντιστοιχούν δύο τιμές του αριθμού Μ. Ένας στην υποηχητική περιοχή και ένας στην υπερηχητική.

 

 

Η παραπάνω σχέση λόγου κρίσιμης διατομής μπορεί να εξαχθεί και με διαφορετικό τρόπο, ως εξής:

 

Η εξίσωση συνέχειας σε διαφορική μορφή γράφεται:

 

 

η οποία λόγω της καταστατικής εξίσωσης σε διαφορική μορφή:

 

 

γράφεται:

 

 

Η τελευταία, λόγω του ισοζυγίου ορμής:

 

 

ξαναγράφεται:

 

 

ή

 

 

ή

 

ή

 

ή

 

 

Επίσης είναι:

 

ή

 

 

ή

 

ή

 

 

Συνεπώς η εξίσωση συνέχειας γράφεται:

 

 

ή

 

ή

 

 

Η θερμοκρασία ηρεμίας Το είναι:

 

 

και

 

 

ή

 

ή

 

 

Η εξίσωση συνέχειας γράφεται και πάλι:

 

ή

 

ή

ή

 

και για ισεντροπική ροή είναι:

 

 

Συνεπώς είναι:

 

 

ή

 

 

Η ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης δίνει:

 

 

ή

 

Το παραπάνω ολοκλήρωμα είναι της μορφής:

 

 

το οποίο με παραγοντική ολοκλήρωση δίνει:

 

 

ή

 

ή

 

 

ή

 

ή

 

 

Έτσι το αρχικά ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται:

ή

ή

ή

ή

 

Η σταθερά ολοκλήρωσης k υπολογίζεται από τη συνθήκη:

 

 

και κατά συνέπεια είναι:

ή

 

Τελικά το ολοκλήρωμα είναι:

 

 

ή

 

ο.ε.δ.

 

Όπως είδαμε πιο πάνω σε ισεντροπική ροή ιδανικού αερίου σε αγωγό μεταβλητής διατομής είναι:

 

 

Αν κατά μήκος της ροής στον αγωγό, έστω διάστασης x, η διατομή Α(x) είναι μια συνεχής συνάρτηση με συνεχείς παραγώγους, πρώτης και δεύτερης τάξης (λεία συνάρτηση), τότε είναι:

 

 

Στο λαιμό (throat) ενός συγκλίνοντος-αποκλίνοντος ακροφυσίου είναι:

 

 

και από την παραπάνω σχέση είναι:

 

 

εκτός και αν στο λαιμό είναι:

 

 

Ομοίως στη θέση όπου είναι ηχητική η ροή πρέπει να είναι:

 

 

εκτός και αν ισχύει:

 

 

οπότε με εφαρμογή του κανόνα de l'Hospital είναι:

 

 

ή

 

ή

 

ή

 

ή

 

ή

 

 

Η τελευταία έχει ισχύ αν είναι:

 

 

 

 

  1. Ώση σε Ακροφύσια

 


Σόλων Ζαρκανίτης, PhD
Σπάτα 22/5/2015