Ορθό Κρουστικό Κύμα

Θεωρητική Ανάλυση

 

Θεωρούμε ένα ορθό κρουστικό κύμα το οποίο διαδίδεται αδιαβατικά μέσα σε ένα τέλειο αέριο σε αγωγό σταθερής διατομής.

Θα ονοματίσουμε με τους δείκτες x και y τις συνθήκες και τις ιδιότητες του αερίου στα ανάντη και στα κατάντη της κίνησης του κύματος.

Η εξίσωση συνέχειας για ένα λεπτό όγκο ελέγχου που περικλείει το κύμα δίνει:

 

 

όπου m είναι η μαζική ροή του αερίου, ρ η πυκνότητα του αερίου και Α η διατομή του αγωγού.

 

Το ισοζύγιο ορμής στον ίδιο λεπτό όγκο ελέγχου είναι:

 

 

το οποίο γράφεται, λόγω της εξίσωσης συνέχειας και ως:

 

 

ή

 

 

Εφόσον η κίνηση του κύματος είναι αδιαβατική, το ισοζύγιο ενέργειας στον ίδιο όγκο ελέγχου, δίνει:

 

 

δηλαδή η ενθαλπία ηρεμίας πριν και μετά το κύμα είναι η ίδια και κατά συνέπεια και η θερμοκρασία ηρεμίας:

 

 

Εφόσον η κίνηση του κύματος είναι αναντίστρεπτη, υπάρχει και μια αύξηση της εντροπίας:

 

 

Από τον ορισμό της θερμοκρασίας ηρεμίας είναι:

 

ή

 

ή

 

ή

 

ή

ή

 

ομοίως στα κατάντη του κύματος είναι:

 

και

 

 

Δεδομένου ότι το αέριο είναι τέλειο, είναι:

 

 

Η τελευταία ισότητα προέκυψε από την εξίσωση συνέχειας παραπάνω.

 

Από την έκφραση της ταχύτητας διάδοσης του ήχου σε ένα τέλειο αέριο, επίσης είναι:

 

ή

 

Συνεπώς ο παραπάνω λόγος θερμοκρασιών γίνεται:

 

 

η οποία γράφεται ως:

 

 

Χρησιμοποιούμε τη σχέση του λόγου θερμοκρασιών παραπάνω και ο λόγος των πιέσεων γίνεται:

 

 

Ο λόγος των πυκνοτήτων του αερίου μετά και πριν από το κύμα είναι:

 

 

Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω εκφράσεις για τους λόγους θερμοκρασιών και πιέσεων, η τελευταία ισότητα γράφεται:

 

 

Ο λόγος των πιέσεων ηρεμίας είναι:

 

 

Επειδή η διεργασία είναι αδιαβατική, είναι:

 

 

Ο λόγος των πιέσεων ηρεμίας είναι:

 

 

Η αύξηση της εντροπίας δια μέσου του κύματος είναι:

 

 

δεδομένου ότι για τέλειο αέριο είναι:

 

 

Το παραπάνω ισοζύγιο ορμής γράφεται:

 

 

ή

 

ή

 

ή

 

 

Συνδυάζοντας αυτή τη σχέση με την άλλη παραπάνω σχέση λόγου πιέσεων, είναι:

 

ή

 

 

Η τελευταία γίνεται:

 

ή

 

ή

 

ή

 

ή

 

 

Τελικά είναι:

 

 

Συνεπώς όλες οι παραπάνω σχέση μπορούν να εκφραστούν ως συναρτήσεις του αριθμού Mach Μ x στα ανάντη του κύματος.

 

Για παράδειγμα, ο λόγος των θερμοκρασιών, γίνεται:

 

ή

 

 

Ομοίως ο λόγος πιέσεων γίνεται:

 

ή

 

ή

 

Ο λόγος των πυκνοτήτων γίνεται:

 

ή

 

ή

 

 

Ο λόγος των πιέσεων ηρεμίας γίνεται:

 

 

ή

 

ή

ή

ή

ή

ή

 

 

Η μεταβολή της εντροπίας δια μέσου του κύματος είναι:

 

ή

 

ή

 

ή

 

ή

ή

ή

ή

 

Η γραφική παράσταση της μεταβολής της εντροπίας με τον αριθμό Mach M, φαίνεται στο παρακάτω σχήμα για τέλειο αέριο με γ = 1,4.

 

 

 

Παρατηρούμε ότι για υποηχητικές ροές η μεταβολή της εντροπίας είναι αρνητική κάτι που είναι απαγορευτικό για μια αδιαβατική διεργασία. Συνεπώς ορθό κρουστικό κύμα δεν μπορεί να υπάρξει σε υποηχητική ροή. Μόνο σε ηχητική ή υπερηχητική ροή μπορεί να υπάρξει ορθό κρουστικό κύμα, δηλαδή:

 

 

Στην ειδική περίπτωση όπου:

 

τότε είναι:

 

και

 

 

όπως και όλες οι ιδιότητες και οι θερμοδυναμικές μεταβλητές της ροής παραμένουν αμετάβλητες και το κύμα ταξιδεύει με την ταχύτητα του ήχου.

 

Από το διάγραμμα φαίνεται επίσης ότι στην περιοχή των ηχητικών ροών, η μεταβολή της εντροπίας είναι σχεδόν μηδενική, δηλαδή ισεντροπική. Από την κλίση του γραφήματος είναι πρόδηλο ότι τα ασθενή κύματα κινούνται και ισεντροπικά ή σχεδόν ισεντροπικά. Εδώ χρειάζεται μια πιο αυστηρή ανάλυση και προσέγγιση.

 

Από τη σχέση:

 

όταν ο αριθμός Mach Mx είναι πάρα πολύ μεγάλος στα ανάντη του κύματος, δηλαδή:

 

 

τότε ο αριθμός Mach My στα κατάντη του κύματος παίρνει μια οριακή τιμή:

 

 

Το παρακάτω γράφημα δείχνει τη σχέση αυτή για ιδανικό αέριο με γ = 1,4.

 

 

 

Ας διερευνήσουμε συνάρτηση:

 

 

Στο παρακάτω γράφημα φαίνεται η απεικόνιση της συνάρτησης για θετικές τιμές του x (αριθμός Mach). Από το γράφημα φαίνεται ότι σε κάθε τιμή της συνάρτησης αντιστοιχούν δύο τιμές του αριθμού, μια στα ανάντη του κύματος και μια στα κατάντη του κύματος.

 

 


 

Σόλων Ζαρκανίτης, PhD
Σπάτα 10/5/2015