Loci algorithms for multisteady state (non)catalytic systems
Coal Gasification - Water Vapour Effect

Εδώ θα ασχοληθούμε μ' ένα πρόβλημα χημικής αντίδρασης στερεού - αερίου: την αεριοποίηση κωκ παρουσία υδρατμού. Ένα πλήθος χημικών αντιδράσεων γίνεται τόσο στην επιφάνεια του στερεού κωκ, κυρίως μέσα στη πορώδη δαιδαλώδη δομή του, αλλά και στην αέρια φάση των πόρων του. Το φαινόμενο καθορίζεται από έντονη θερμική αλληλεπίδραση με το περιβάλλον του. Ταυτόχρονα το μέγεθος των κόκκων (grains) του κωκ ελαττώνεται, η εσωτερική δομή του δομή καταρρέει και τελικά μένει η τέφρα. Και όλα αυτά γίνονται εξελικτικά στο χρόνο. Είναι προφανές ότι ένα μαθηματικό μοντέλο που θα ήθελε να περιγράψει μια τέτοια συμπεριφορά: τις χημικές αντιδράσεις, τη θερμική αλληλεπίδραση με το περιβάλλον και την μεταβολή της πορώδους στερεής δομής του κωκ, ακόμα και σε επίπεδο ενός σωματιδίου κωκ, είναι αρκετά περίπλοκο και "δύσκαμπτο (stiff)".

Στην παρούσα περίπτωση θα επιλύσουμε, σε πρώτη προσέγγιση, το πρόβλημα της μόνιμης κατάστασης και θα αναζητήσουμε πιθανές πολλαπλές λύσεις (multisteady state solutions) στο πρόβλημα. Ένας δεύτερος στόχος της ανάλυσής μας είναι να δείξουμε μια άλλη τεχνική επίλυσης διαφορικών εξισώσεων "δύσκαμπτου" προβήματος συνοριακών συνθηκών. Η τεχνική αυτή είναι γενικότερη και μπορεί να εφαρμοστεί σ' ένα πλήθος άλλων προβλημάτων.

Συνήθως τα πρόβλήματα (με διαφορικές εξισώσεις) στη φυσική, χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: στα προβήματα αρχικών τιμών (initial value problems) και στα προβλήματα συνοριακών συνθηκών (boundary value problems). Διαφορετικές τεχνικές εφαρμόζονται σε κάθε κατηγορία. Στη δεύτερη γίνεται συνήθως "διακριτοποίηση", απαιτείται η εύρεση κάποιας προσεγγιστικής λύσης με κάποιο κριτήριο ώστε αυτή ή λύση να είναι "κοντά" στη πραγματική πάνω ή γύρω από μερικά σημεία στο πεδίο ορισμού του χώρου του προβλήματος. Στη πρώτη κατηγορία γίνεται "βηματισμός" (marching) ως προς χρόνο με κάποια τεχνική και κάποιο κριτήριο ώστε να προσεγγίζονται "καλά" οι παράγωγοι χρόνου. Αν το πρόβλημά μας είναι μικτό, έχει δηλαδή μερικές παραγώγους και ως προς χρόνο και ως προς χώρο, γίνεται "διακριτοποίηση" ως προς χώρο και μετά εφαρμόζεται τεχνική "βηματισμού" ως προς χρόνο.

Η τεχνική Shooting

Εδώ θα παρουσιάσουμε μια άλλη τεχνική. θα χρησιμοποιήσουμε μια τεχνική "βηματισμού" για να επιλύσουμε ένα πρόβλημα συνοριακών συνθηκών. Δηλαδή, θα θεωρήσουμε (προς στιγμή) ότι το πρόβλημά μας είναι πρόβλημα αρχικών συνθηκών. Πράγματι σε πάρα πολλά προλήματα "χημικών διεργασιών" (reaction engineering) έχουμε πολλαπλές συνοριακές συνθήκες όπως και στην περίπτωσή μας. Για σφαιρικής γεωμετρίας σωματίδια κωκ, έχουμε ανηγμένους ρυθμούς ροής (fluxes) μηδενικούς στο γεωμετρικό κέντρο των σωματιδίων (λόγω συμμετρίας), πρέπει να ικανοποιούνται κάποιες συνθήκες 3ου τύπου (Robin) στη γεωμετρική επιφάνεια του σωματιδίου (ισοζύγια μάζας και ενέργειας) και να ικανοποιούνται και κάποιες συνοριακές συνθήκες "μακριά" από το σωματίδιο κωκ στην αέρια φάση 1ου τύπου (συνέχεια). Είναι δηλαδή το πρόβλημά μας τριών συνοριακών συνθηκών. Θα μπορούσαμε, προς στιγμή να θεωρήσουμε το πρόβλημα σαν πρόβλημα αρχικών τιμών ξεκινώντας από το κέντρο του σωματιδίου και ολοκληρώνοντας ώς προς απόσταση - "χρόνο" να φθάσουμε στην επιφάνεια του σωματιδίου ή σε "άπειρη" απόσταση από αυτό χρησιμοποιώντας μια τεχνική "βηματισμού" (marching). Το ερώτημα όμως είναι: και πως εξασφαλίζεται η ικανοποίηση των άλλων συνοριακών συνθηκών; Μέχρι στιγμής δεν εξασφαλίζεται. Πρέπει να υπάρχει πρόβλεψη γι' αυτό. Είναι προφανές ότι "φθάνοντας" στα σύνορα δεν θα ικανοποιούνται κατ' ανάγκη οι απαιτήσεις των οριακών αυτών συνθηκών. Για να ξεπεράσουμε αυτή τη σκόπελο ορίζουμε τις λεγόμενες συναρτήσεις "ευαισθησίας". Χρησιμοποιούμε τόσες συναρτήσεις "ευαισθησίας" (sensitivity functions) όσες συνοριακές συνθήκες θα απαιτηθεί να ικανοποιήσουμε. Έτσι λοιπόν, ολοκληρώνοντας και φθάνοντας στα όρια, γνωρίζουμε και "πόσο μακριά" από τις οριακές συνθήκες βρισκόμαστε και τι διόρθωση στις προβλέψεις μας, στην "αρχή", πρέπει να κάνουμε και να ξανα-ολοκληρώσουμε το σύστημα των εξισώσεων. Να γιατί αυτή η μέθοδος λέγεται shooting. Είναι προφανές ότι μια τέτοια προσέγγιση απαιτεί την ολοκλήρωση επιπρόσθετων εξισώσεων, τον υπολογισμό του Ιακωβιανού πίνακα (Jacobian matrix) σε κάθε βήμα ολοκλήρωσης και κατά συνέπεια αύξηση του υπολογιστικού χρόνου. Η πράξη όμως έχει δείξει ότι είναι αρκετά γρήγορη (στη σύγκλιση) και ταχύτερη από άλλες κλασικές τεχνικές "διακριτοποίησης" καθόσον και αυτές, λόγω "δυσκαμψίας" - stiffness του προβλήματος, απαιτούν αύξηση των σημείων "διακριτοποίησης" (μεγαλύτερης τάξης συναρτήσεις δοκιμής) ή μεταβλητή κατανομή των σημείων (variable mesh) στο πεδίο ορισμού με ταυτόχρονη αύξηση του υπολογιστικού χρόνου. Γενικά, ένα άλλο πρόβλημα της τεχνικής shooting είναι η αρχική πρόβλεψη τιμών των συναρτήσεων ευαισθησίας. Στα προβλήματα μηχανικής όμως, η διαίσθηση μας οδηγεί αλάνθαστα!

Το μαθηματικό μοντέλο αεριοποίησης κωκ

Ως συνήθως, τα εργαλεία που έχουμε είναι τα ισοζύγια μάζας και ενέργειας. Τα ισοζύγια μάζας στην περίπτωσή μας, δεν είναι άλλα από το λεγόμενο Dusty Gas Model, το οποίο περιγράφει τα ισοζύγια μάζας των αέριων συστατικών του χημικά αντιδρώντος συστήματος στην "αέρια" φάση του πορώδους δαιδαλώδους του κωκ.

(συνεχίζεται...)

Η μαθηματική επίλυση του μοντέλου αεριοποίησης κωκ

Αποτελέσματα μαθηματικής επίλυσης του μοντέλου αεριοποίησης κωκ



© 1999 - . Σόλων Ζαρκανίτης, Ph.D., Σπάτα 15/7/2006