Ορθογώνια Κατάταξη σε Πεπερασμένα Στοιχεία (Orthogonal Collocation on Finite Elements) και το πρόβλημα Διάχυσης - Αντίδρασης

Στο προηγούμενο εδάφιο είδαμε πως εφαρμόζεται η τεχνική της ορθογώνιας κατάταξης για την επίλυση του προβλήματος διάχυσης - αντίδρασης σ' ένα πορώδη καταλύτη. Είδαμε επίσης, όταν το πρόβλημα αρχίζει να γίνεται "δύσκαμπτο" πως μπορούμε να κατανέμουμε πιο πυκνά τα σημεία κατάταξης στην περιοχή της μεγάλης κλίσης (gradient) της συνάρτησης. Τώρα θα εφαρμόσουμε μια άλλη τεχνική για τον ίδιο σκοπό.

Στην τεχνική της ορθογώνιας κατάταξης, οι συναρτήσεις δοκιμής (trial functions) ορίζονται σ' όλο το πεδίο ορισμού του προβλήματός μας [0,1]. Τώρα θα ορίσουμε περιοχές, πεπερασμένα στοιχεία (finite elements), και σε κάθε περιοχή θα εφαρμόσουμε την τεχνική της ορθογώνιας κατάταξης. Οι περιοχές αυτές είναι "μικρές" εκεί που η συνάρτησή μας έχει ή αναμένεται να έχει μεγάλη κλίση. Τώρα βέβαια απαιτείται να ορίσουμε και πρόσθετες συνοριακές συνθήκες: τη συνέχεια της συνάρτησης και των παραγώγων της από στοιχείο σε στοιχείο. Αν το πεδίο ορισμού του προβλήματός μας είναι "ομοιογενές", τότε η πρώτη παράγωγος της συνάρτησής μας, της συγκέντρωσης, είναι ο ανηγμένος ρυθμός ροής (flux) η οποία είναι επίσης μια συνεχής συνάρτηση και αυτό πρέπει να ληφθεί υπόψη στη διαμόρφωση του μοντέλου μας. Αν όμως για παράδειγμα έχουμε δύο διαφορετικά υλικά σε πρόβλημα αγωγής θερμότητας, η "φυσική" συνοριακή συνθήκη επιβάλλει τη διαμόρφωση της κατάλληλης μαθηματικής περιγραφής στα πεπερασμένα στοιχεία αριστερά και δεξιά της διαχωριστικής επιφάνειας. Θα χρησιμοποιήσουμε σαν συναρτήσεις δοκιμής δύο κατηγορίες: τα πολυώνυμα Lagrange και τα πολυώνυμα Hermite. Για τα πρώτα πρέπει να γράψουμε επιπλέον "συνοριακές" συνθήκες μεταξύ των πεπερασμένων στοιχείων, ώστε να έχουμε συνέχεια και της πρώτης παραγώγου από το ένα στοιχείο στο γειτονικό του. Στα δεύτερα, θα δούμε ότι η συνέχεια της πρώτης παραγώγου ικανοποιείται εκ κατασκευής.

Πολυώνυμα Lagrange

Χωρίζουμε λοιπόν το διάστημα [0,1] σε διαστήματα όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Σε κάθε διάστημα εφαρμόζουμε τη τεχνική της ορθογώνιας κατάταξης και απαιτούμε το υπόλοιπο να μηδενίζεται στα σημεία κατάταξης κάθε διαστήματος. Αν λοιπόν έχουμε ΝΕ διατήματα-στοιχεία και NCOL σημεία κατάταξης σε κάθε διάστημα, τότε έχουμε NExNCOL εξισώσεις από το κριτήριο της ορθογώνιας κατάταξης. Έχουμε επίσης και τις 2 συνοριακές συνθήκες του προβλήματός μας. Έτσι ο συνολικός αριθμός "αγνώστων" για να οριστεί η προσεγγιστική λύση είναι (NCOL+1)xNE+1. Δηλαδή υπολοίπονται (NCOL+1)xNE+1-NExNCOL-2 = NE-1 εξισώσεις. Αυτές οι εξισώσεις είναι και οι "εσωτερικές" συνοριακές συνθήκες μεταξύ των ΝΕ στοιχείων-διαστημάτων. Οι συνθήκες αυτές είναι η συνέχεια της πρώτης παραγώγου μεταξύ των στοιχείων. Έτσι και η συνολική λύση (προσεγγιστική) θα έχει συνεχή πρώτη παράγωγο σ' όλο το πεδίο ορισμού [0,1].

Εδώ, από τη σκοπιά του μηχανικού, θα προβλέψουμε τις καταστάσεις μέσω κατάλληλης μεθοδολογίας (αριθμητική ανάλυση κυρίως) ενός ετερογενούς καταλυτικού συστήματος. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η αντίδραση Α-->Β γίνεται σε αέρια φάση μέσα σ' έναν πορώδη στερεό καταλύτη. Σκοπός μας είναι να προβλέψουμε, σε μόνιμη κατάσταση, τον συνολικό ρυθμό αντίδρασης, την αποτελεσματικότητα του καταλύτη και τη θερμική του συμπεριφορά.

Πολυώνυμα Hermite

Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε πολυώνυμα Hermite (1878) σαν συναρτήσεις δοκιμής. Θα περιοριστούμε σε κυβικές συναρτήσεις. Στο σχήμα 4 φαίνονται τα τέσσερα πολυώνυμα Hermite ορισμένα σε κάθε στοιχείο-διάστημα. Τα τέσσερα πολυώνυμα είναι τέτοια ώστε οι τρεις από τις τέσσερεις τιμές στα άκρα των συναρτήσεων και των πρώτων παραγώγων τους να είναι μηδέν και η τέταρτη να είναι ένα. Αυτά τα πολυώνυμα είναι:

Γραφική παράσταση των τεσσάρων πολυωνύμων Hermite στο διάστημα [0,1]

Γραφική παράσταση των τεσσάρων πολυωνύμων Hermite στο διάστημα [0,1] στα πεπερασμένα στοιχεία k και k+1

Η προσεγγιστική λύση σε κάθε στοιχείο παρίσταται από την εξίσωση:

η πρώτη παράγωγος είναι:

και η δεύτερη παράγωγος είναι:

Έτσι στα σημεία της ορθογώνιας κατάταξης έχουμε:

Βλέπουμε ότι η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος στα σημεία κατάταξης είναι ένας γραμμικός συνδιασμός των τιμών της συνάρτησης c και της παραγώγου της στα άκρα κάθε πεπερασμένου στοιχείου (ζ=0 και ζ=1).

Εφαρμόζουμε την τεχνική της ορθογώνιας κατάταξης στα σημεία κατάταξης και το υπόλοιπο είναι:

με τις συνοριακές συνθήκες:

Σε αντίθεση με τα πολυώνυμα Lagrange, δεν απαιτούνται "εσωτερικές" συνοριακές συνθήκες (συνέχεια πρώτης παραγώγου) διότι, δια το στοιχείο k+1 έχουμε:

Ενώ για το στοιχείο k έχουμε:

δηλαδή η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής από το στοιχείο k στο στοιχείο k+1 εκ κατασκευής.

Όπως και πριν, πρέπει να συναρμολογίσουμε τον τελικό πίνακα των εξισώσεων του προβλήματός μας. Πρώτη εξίσωση είναι η συνοριακή συνθήκη για x=0. Μετά ακολουθούν οι δύο εξισώσεις του πρώτου στοιχείου, οι δύο εξισώσεις του δεύτερου, κ.ο.κ. Τελικά ακολουθούν οι δύο εξισώσεις του τελευταίου στοιχείου (ΝΕ) και στο τέλος η άλλη συνοριακή συνθήκη για x= 1. Και πάλι ο πίνακας επιλύεται με μια τεχνική αποικοδόμησης LU. Το πλεονέκτημα των πολυωνύμων Hermite έναντι των πολυωνύμων Lagrange είναι ότι δεν απαιτούν τις επιπλέον "συνοριακές" συνθήκες NE-1 τον αριθμό. Έτσι ο τελικός πίνακας είναι κατά πολύ μικρότερος, περίπου κατά ένα τρίτο για κυβικά πολυώνυμα.

Το μαθηματικό πρόβλημα Διάχυσης - Αντίδρασης
Ορθογώνια Κατάταξη (Orthogonal Collocation) και το μαθηματικό πρόβλημα Διάχυσης - Αντίδρασης


© 1999 - . Σόλων Ζαρκανίτης, Ph.D., Σπάτα 15/7/2006