Ορθογώνια Κατάταξη (Orthogonal Collocation) και το πρόβλημα Διάχυσης - Αντίδρασης

Μαθηματική Ανάλυση

Κάθε μεθοδολογία αριθμητικής επίλυσης μαθηματικού προβλήματος συνοριακών τιμών επιβάλλει, μέσω κάποια λογικής, τη "διακριτοποίηση" της διαφορικής εξίσωσης στο πεδίο ορισμού της ανεξάρτητης μεταβλητής της (χώρος). Έτσι η διαφορική εξίσωση "μεταμορφώνεται" σ' ένα σύστημα αλγεβρικών (όχι κατ' ανάγκη γραμμικών) εξισώσεων. Συνεπώς, η επίλυση του προβλήματος συνοριακών συνθηκών ανάγεται σε επίλυση συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων.

Πρέπει να γίνει συνείδηση, ότι κάθε μεθοδολογία αριθμητικής επίλυσης δίνει μια προσεγγιστική λύση του προβλήματος. Δεν είναι η ακριβής λύση σε κάθε περίπτωση. Ο τρόπος "διακριτοποίησης" και τα κριτήριά της επιβάλλουν και την ακρίβεια της μεθόδου, όπως θα δούμε παρακάτω.

Επειδή περιμένουμε η μαθηματική μας λύση να είναι συνεχής συνάρτηση με συνεχείς παραγώγους κάποιας τάξης (τουλάχιστον πρώτης) προσεγγίζουμε τη λύση σαν μια σειρά από γνωστές συναρτήσεις δοκιμής li (trial functions) με κάποιους άγνωστους συντελεστές αι η κάθε μια:

Επιλογή συναρτήσεων δοκιμής (Trial Functions)

Ο χώρος αυτών των συναρτήσεων li έχει προκαθορισμένες ιδιότητες όπως και η ακριβής μορφή αυτών των συναρτήσεων δοκιμής.

Χρησιμοποιούνται πολλές παραλλαγές συναρτήσεων δοκιμής, συνήθως πολυώνυμα: πολυώνυμα Legendre, Lagrange, Newton, Tchebycheff, Hermite, κ.α. Έστω ότι έχουμε μια ακολουθία ρj διακεκριμένων σημείων στο διάστημα [0,1]. Τα πολυώνυμα Lagrange ορίζονται:

Το πολυώνυμο Lagrange li είναι ένα για x = ρi και μηδέν για όλα τ' άλλα σημεία ρj. Τα πολυώνυμα Lagrange έχουν επιπλέον την ιδιότητα:

και

Δηλαδή είναι ορθογώνιες συναρτήσεις στο [0,1]. Παρόλη την κομψή εμφάνιση των πολυωνύμων Lagrange δεν είναι και τόσο αποτελεσματικά.

Τα πολυώνυμα που χρησιμοποιούνται στον αλγόριθμο του προβλήματός μας, έχουν τη μορφή:

Μοιάζουν με τα πολυώνυμα Legendre, αλλά δεν είναι. Ο λόγος γιατί χρησιμοποιούμε αυτά τα πολυώνυμα είναι κυρίως γιατί σαν σημεία κατάταξης θα χρησιμοποιήσουμε τις ρίζες των πολυωνύμων Legendre ώστε να πετύχουμε την μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια της μεθόδου με τα λιγότερα σημεία και κατάταξης και κατά συνέπεια τάξη προσέγγισης της λύσης όπως θα δούμε παρακάτω:

Απαιτούμε αυτά τα πολυώνυμα να είναι ορθογώνιες συναρτήσεις:

όπου W μια συνάρτησης "βάρους". Εξού και το επίθετο "ορθογώνια (orthogonal)" της αριθμητικής μας μεθόδου.

Αν λοιπόν αντικαταστήσουμε την προσεγγιστική μας λύση, ανεπτυγμένη σε σειρά των πολυωνύμων Lagrange, και στη διαφορική μας εξίσωση (μετά από παραγώγιση των κατάλληλων όρων) και στις συνοριακές εξισώσεις, παίρνουμε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Μια προέρχεται από την διαφορική εξίσωση και δύο από τις συνοριακές συνθήκες. Από τις τρεις αλγεβρικές εξισώσεις (ως προς τους αγνώστους συντελεστάς της προσεγγιστικής συνάρτησης) η πρώτη παραμένει και αλγεβρική εξίσωση ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή. Επί του παρόντος το αλγεβρικό σύστημα είναι αόριστο με άπειρες ή καμια λύση. Χρειαζόμαστε και άλλη μια πληροφορία για να προσδιορίσουμε - "καρφώσουμε" τη λύση, ένα κριτήριο. Αυτό το κριτήριο όχι μόνο καθορίζει τη μοναδικότητα της λύσης αλλά επιβάλλει, μαζί με την επιλογή του τύπου των συναρτήσεων δοκιμής και την ακρίβεια της λύσης.

Επιλογή μεθόδου υπολοίπου (Weighted Residuals)

Όλες οι μέθοδοι της κατηγορίας weighted residuals απαιτούν να ικανοποιείται το κριτήριο:

Έτσι προκύπτουν διάφορες μέθοδοι. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων απαιτεί η συνάρτηση "βάρους" (weighting function) W να είναι η μερική παράγωγος του υπολοίπου ως προς τους συντελεστές αj, δηλαδή, ή με άλλα λόγια να ελαχιστοποιείται το υπόλοιπο σφάλματος σε όλο το διάστημα [0,1]:

Η μέθοδος Galerkin απαιτεί η συνάρτηση "βάρους" W να είναι η μερική παράγωγος της προσεγγιστικής λύσης ως προς τους συντελεστές αj:

Η μέθοδος ροπών (moments) απαιτεί η συνάρτηση "βάρους" W να είναι:

Η μέθοδος υποδιαστημάτων (subdomain) απαιτεί η συνάρτηση "βάρους" W να είναι ένα σ' ένα υποδιάστημα και μηδέν αλλού:

Στην περίπτωσή μας απαιτούμε (αυθαίρετα) η προσεγγιστική λύση να είναι ακριβής σε κάποια σημεία του πεδίου ορισμού [0,1]. Αυτό δεν σημαίνει ότι η προσεγγιστική λύση που ψάχνουμε είναι ακριβής σε όλο διάστημα [0,1]. Είναι ακριβής μόνον σ' αυτά τα (αυθαίρετα) εσωτερικά σημεία και στα άκρα, λόγω οριακών συνθηκων. Τα βολικά αυτά σημεία είναι οι ρίζες των πολυωνύμων Legendre. Να γιατί η μέθοδος λέγεται "κατάταξης".

Επιλογή των σημείων κατάταξης (Collocation Points)

Η μέθοδος της ορθογώνιας κατάταξης (Collocation Method) απαιτεί, όπως είδαμε, το υπόλοιπο να είναι μηδέν σε επιλεγμένα σημεία, δηλαδή η λύση να είναι ακριβής σ' αυτά τα σημεία. Είναι προφανές ότι όσο περισσότερα είναι τα σημεία, τόσο και μεγαλύτερη η ακρίβεια της προσεγγιστικής λύσης. Τι γίνεται όμως αν έχουμε να επιλέξουμε διαφορετική οικογένεια σημείων του αυτού πλήθους;

Υπάρχουν περιπτώσεις, σε "δύσκαμπτα" (stiff) προβλήματα, που απαιτείται επαναπροσδιορισμός των σημείων κατάταξης. Αν για παράδειγμα, το Thiele modulus γίνει πολύ μεγάλο, αναμένουμε μια μικρή απόδοση του καταλύτη. Περιμένουμε, δηλαδή, η αντίδραση να γίνεται πολύ κοντά στην επιφάνεια του καταλύτη και το μεγαλύτερο μέρος του όγκου του καταλύτη να μην μετέχει στην αντίδραση. Κατά συνέπεια, η κατανομή της συγκέντρωσης του αντιδρώντος συστατικού να εμφανίζει μια απότομη πτώση πολύ κοντά στην επιφάνεια. Πολλά σημεία κατάταξης μακρυά από αυτή την περιοχή, κοντά στο γεωμετρικό κέντρο του καταλύτη, δεν προσδίδουν ακρίβεια στη λύση. Αντίθετα αύξηση των σημείων κατάταξης στην περιοχή μεγάλης πτώσης της συγκέντρωσης του αντιδρώντος αυξάνει την ακρίβεια της μεθόδου. Αντί λοιπόν να αυξήσουμε τα σημεία κατάταξης σ' όλο το διάστημα από το κέντρο μέχρι την επιφάνεια, ανακατατάσουμε τα ήδη υπάρχοντα σημεία κατάταξης. Έτσι, αντικαθιστώντας τις ρίζες των πολυωνύμων Lagrange στην αλγεβρική εξίσωση προκύπτουν ισάριθμες αλγεβρικές εξισώσεις πλέον, μόνον ως προς τους αγνώστους συντελεστάς. Μαζί με τις αλγεβρικές εξισώσεις των συνοριακών συνθηκών προκύπτει ένα καλά ορισμένο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων που έχει (πάντα) λύση. Προσέξτε τις απλοποιήσεις στην αντικατάσταση των ριζών που γίνονται επειδή οι συναρτήσεις Lagrange είναι ορθογώνιες.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αλλάζοντας το κριτήριο "προσέγγισης" - σφάλματος, αλλάζει και το όνομα και η ακρίβεια της μεθόδου, π.χ., ελαχίστων τετραγώνων, weighing residuals, Gaelerkin, κλπ. Η ακρίβεια μπορεί να αυξηθεί και με την αύξηση των σημείων κατάταξης με παράλληλη αύξηση της τάξης των πολυωνύμων. Έτσι όμως αυξάνει και η τάξη του συστήματος των αλγεβρικών εξισώσεων προς επίλυση. Η αύξηση αυτή των σημείων κατάταξης, πέραν κάποιου ορίου, δεν επιφέρει πάντα και μεγαλύτερη ακρίβεια της προσεγγιστικής λύσης. Αν για παράδειγμα, το μαθηματικό πρόβλημα εμφανίζει ασυνέχεια δευτέρας παραγώγου ή ισοδύναμα απροσδιοριστία πρώτης παραγώγου (κατακόρυφη συνάρτηση), το πρόβλημα είναι "δύσκαμπτο" ("stiff") και απαιτούνται πιο εξειδιευμένες τεχνικές διακριτοποίησης. Συνήθεις τεχνικές "καταρρέουν". Όπως θα δούμε σ' άλλο εδάφιο, περί προβλημάτων με μερικές παραγώγους, όπου μια δέλτα διαταραχή (delta function) διατρέχει χρονικά το χώρο, θα εφαρμόσουμε συναρτήσεις δοκιμής ορισμένες κατά τμήματα μόνον, στο συνολικό πεδίο ορισμού (χώρο) (piecewise polynomial approximation). (Δείτε Gear μέθοδοι)

Αν το πρόβλημα είναι διδιάστατο ή τριδιάστατο, κάνουμε τα ίδια για όλες τις διαστάσεις (άλλη αυθαιρεσία...).

Μετά απ' αυτά, πίσω στο πρόβλημά μας: non-isothermal heterogeneous catalysis.

Από το τιμόνι του Μηχανικού

Ακολουθώντας τα παραπάνω και με λίγο προγραμματισμό σε Fortran (66, 77, 90, ?) τα κωδικοποιούμε σε πρόγραμμα.

Στο Σχήμα 3 φαίνεται η γραφική παράσταση του συντελεστή αποτελεσματικότητας η, σαν συνάρτηση του Thiele modulus και για διάφορες τιμές των παραμέτρων: αριθμoύ Biot μάζας Bim και αριθμού Biot θερμότητας Biot.

Από το Σχήμα 3 είναι φανερό ότι για μεγάλες τιμές του αριθμού Biot, η μη-ισόθερμη περίπτωση εκφυλίζεται στην ισόθερμη με τα ανάλογα συμπεράσματα όπως και πριν.

Το πλέον ενδιαφέρον όμως είναι η χαρακτηριστική σιγμοειδής καμπύλη για "ενδιάμεσες" τιμές του Thiele modulus φ. Εδώ βλέπουμε ότι έχουμε τρεις τιμές του συντελεστή αποτελεσματικότητας η για την ίδια τιμή του Thiele modulus! Άρα είναι δυνατόν να έχουμε για την ίδια τιμή του φ, τρεις λύσεις! Να και η πολλαπλότητα των λύσεων. Ποια νομίζετε, και γιατί, λύση ακολουθεί το φυσικό μας σύστημα, κάτω από ποιές προϋποθέσεις - συνθήκες το σύστημά μας μεταπηδά από την μια κατάσταση - λύση σε άλλη;

Το μαθηματικό πρόβλημα Διάχυσης - Αντίδρασης
Ορθογώνια Κατάταξη σε Πεπερασμένα Στοιχεία (Orthogonal Collocation on Finite Elements) και το πρόβλημα Διάχυσης - Αντίδρασης


© 1999 - . Σόλων Ζαρκανίτης, Ph.D., Σπάτα 1/7/2006